IGO 2016-P5

Let the circles ω and ωintersect in points A and B. Tangent to circle ω at A intersects ωin C and tangent to circle ωat A intersects ω in D. Suppose that the internal bisector of ∠CAD intersects ω and ωat E and F, respectively, and the external bisector of ∠CAD intersects ω and ωin X and Y, respectively. Prove that the perpendicular bisector of XY is tangent to the circumcircle of triangle BEF

Info

از این پس راه حل های خود را برای ما ارسال کنید

سایت هندسه(Geometry)این امکان را برای کاربران خود،امکان ارسال راه حل جهت بررسی،تصحیح و یا قرار دادن راه حل در سایت با نام نویسنده،فراهم آورده است.

علاقه‌مندان می‌توانند از طریق لینک زیر برای ما راه حل های خود را ارسال کنند:

Sendsolution

به برترین راه حل ها،به قید قرعه،امتیاز ثبت مطلب در سایت+۱ گیگابایت اینترنت رایگان ارسال می‌گردد.

چنانچه تمایل دارید در سامانه سایت ثبت نام کنید به لینک زیر مراجعه کنید:

Register

چنانجه تمایل دارید نظرات،انتقادات و پیشنهادات خود را با ما درمیان بگذارید روی لینک زیر کلیک کنید:

                                                                                                                                                                       Contact-us

3rd Iranian Geometry Olympiad-P4

Let ω be the circumcircle of right-angled triangle ABC (∠A = 90◦). Tangent to ω at point A intersects the line BC in point P. Suppose that M is the midpoint of (the smaller) arc AB, and PM intersects ω for the second time in Q. Tangent to ω at point Q intersects AC in K. Prove that ∠PKC = 90◦.

Proposed by Davood Vakili.

! The list of students invited to the final round of xiii sharygin geometry olympiad

جهت دانلود لیست اسامی پذیرفته شدگان سیزدهمین المپیاد بین المللی هندسه شاریگین(روسیه) می‌توانید اینجا  کلیک کنید.

ضمن عرض تبریک و آرزوی موفقیت برای پذیرفته‌شدگان  این مرحله،باید بگویم از ایران تنها ۸ نفر به مرحلهٔ نهایی راه پیدا کرده‌اند.

Tiling with two kinds of figures

We call rectagle of the size 1 x 2 domino. Rectangle of the 2 x 3 removing two opposite (under center of rectangle) corners we call tetramino. These figures can be rotated.

It requires to tile rectangle of size 2008x 2010 by using dominoes and tetraminoes. What is the minimal number of dominoes should be used

IMO2005-P5

Let ABCD be a xed convex quadrilateral with BC = DA and BC not parallel with DA. Let two variable points E and F lie of the sides BC and DA, respectively and satisfy BE = DF. The lines AC and BDmeet at P, the lines BD and EF meet at Q, the lines EF and AC meet at R. Prove that the circumcircles of the triangles PQR, as E and F vary, have a common point other than P.

========================================================

To see solution please click here.

IMO 2005-P1

Six points are chosen on the sides of an equilateral triangle ABC: A1, A2 on BC, B1, B2 on CA and C1, C2 on AB, such that they are the vertices of a convex hexagon A1A2B1B2C1C2 with equal side lengths. Prove that the lines A1B2;B1C2 and C1A2 are concurrent.

========================================================

To see solutions click here.

34th United States of America Mathematical Olympiad-P3

Let ABC be an acute-angled triangle, and let P and Q be two points on side BC. Construct point C1 in such a way that convex quadrilateral APBC1 is cyclic, QC1 CA, and C1 and Q lie on opposite sides of line AB. Construct point B1 in such a way that convex quadrilateral APCB1 is cyclic, QB1 BA, and B1 and Q lie on opposite sides of line AC. Prove that points B1,C1,P, and Q lie on a circle.

======================

To see solution click here